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2024年4月15日发(作者：astroneer)

第一章习题



n1

n1

2、(ii)

n1

A

n

B

n

A

n

B

n

证明：对于

x

n1

A

n

n1

B

n

,

x

n1

A

n

且x

n1

B

n

n

0

1,xA

n

0

且对于n1,xB

n

n

0

1,xA

n

0

B

n

0

x

n1

A

n

B

n

22、具体构造

0,1

与

0,1

之间的一个完全的一一映射.

解：记

0,1

中的有理数点集为

Q

；

0,1

中的无理数点集为

M

0,1

QM

；

0,1

QM

0,1

,作映射

xM,xx,0r

1

,1r

2

,r

1

r

3

.....r

n

r

n2

.....

所以

0,1

与

0,1

等价

29、求证：

R

中任一集合的导集是闭集.

n

E



证明：若,则

E

为闭集,否则

要证明

E

为闭集

E

E

x

E

x

为

E

的聚点



0,

V

x,

x

E

x

1

V

x,

x

E

1

x

1

V

x,

x



0,使得V

x

1

,

V

x,

2

x

1

E



1

0,

V

x

1

,

1

x

1

E



1

0,

V

x

1

,

1

中含有

E

的无穷多个点

V

x

1

,

也中含有

E

的无穷多个点

EV

x

1

,

EV

x,

xE

E

E

从而

E

为闭集

30、(i)设

A,B

是任意的两个集合,若

AB

,则

A

B

.

证明：

xA

x

为

A

的聚点



0,

V

x,

x

A

AB



0,

V

x,

x

B

x

为

B

的聚点

xB

(ii)若

A

BA

,求证：

B

是闭集.

根据(i)式可知

B

A

B

,则

B

是闭集

32、

R

中任一集合的孤立点是至多可数的

n

证明：先来证明

R

中的孤立点是至多可数的

1

记

B

为

R

中以有理数为端点的开区间全体所成的集合,

1

B

r

m

,r

n

r

n

,r

m

Q

则

B

为可数集.

设

A

为

R

中的孤立点全体,则对于任意的

xA

,则存在

x

的一个以有理数为端点的邻域

1

x

,

x

,使得

x

,

x

A

x

`

对于每一个

xA

,都做出这样的一个邻域,由于每个邻域中只含有一个

A

中的点,故对于

A

中不同的两个点对应的邻域

x

,

x

，

y

,

y

也不同.

令

D

x

,

x

xA

则

A

与

D

等价,而

DB

,则

D

是至多可数集,从而

A

是至多可数集,因此有限个至多可数

集的直积是至多可数集.

33、若

A

不可数,则

A

也不可数.

证明：假设

A

是至多可数集,则设

B

为

A

的孤立点全体,则

B

为至多可数集

因为

AB

AA

,

AA

A

,则

AA

为至多可数集

则

A

为至多可数集与已知矛盾.

第二章习题

m

*

E

inf

m

Q

:EQ,Q是开集

2、求证：

m

*

E

inf

m

Q

:EQ,Q是开集

EQ

证明：因为,所以

Q

a

n

,b

n

Q是开集

n1

又因为,而,其中

a

n

,b

n

为两两不交的开区间

m

E

inf

l

I

n

:EI

n

,

I

n

是开区间列

n1

n1

*

因为开区间是开集,但是开集不一定是开区间,所以

l

I

n

:EI

n

,

I

n

是开区间列

mQ:EQ,Q是开集

n1

n1



inf

l

I

n

:EI

n

,

I

n

是开区间列

inf

m

Q

:EQ,Q是开集

n1

因此

n1

3、设

G

1

,G

2

是两个不相交的开集,

E

1

G

1

,E

2

G

2

,

m

*

E

1

E

2

m

*

E

1

m

*

E

2

求证：

证明：

G

1



,

m

*

E

1

E

2

m

*

E

1

E

2

G

1

m

*

E

1

E

2

G

1

C

所以

m

*

E

1

G

1



E

2

G

1

m

*

E

1

G

1

C

E

2

G

1

C

m

*

E

1

m

*

E

2

求证：

m

*

A

m

*

B

m

*

AB

6、设

m

*

A

,m

*

B

,

证明：要想证明

m

*

A

m

*

B

m

*

AB

,只需要证明

m

*

AB

m

*

A

m

*

B

m

*

AB

,即证明：

m

*

A

m

*

AB

m

*

B

下面来证明

m

*

A

m

*

B

m

*

AB

而

m

*

AB

m

*

B

m

*

AB

Bm

*

AB

m

*

A

同理可证明：

m

*

AB

m

*

A

m

*

B

m

limE

n



limm

E

n

E

n

n1

10、设是可测集列,(i)求证：

n

n

.

证明：

limE

n

n



n1kn

E

k

,左右取测度







m

limE

n

m

E

k

m

lim

E

k

n

n1kn

n

kn

limm

E

k

n

kn

limm

E

k

n

kn

limm

E

n

n

m

E

k



mlimE

n

limm

E

n

k

0

kk

0



n

(ii)若有,使得,求证：

n





证明：

limE

n

n

n1kn

E

k

,左右取测度

mlimE

n

n







m

E

k

m

lim

E

k

n1kn

n

kn

limm

E

k

n

kn

limm

E

k

n

kn

limm

E

n

n

11、设

A

可测并且

m

AB

0

,则

B

.

证明：

m

AB

0AB

可测

由

A

可测可知

A

可测

C

C

C

C





ABABA

AB

而,所以可测

从而

AB

可测;

BA

AB

A

可测,而

B

BA

BA

,所以可测.

C

13、设

E

1

,E

2

都可测,求证：

m

E

1

m

E

2

m

E

1

E

2

m

E

1

E

2

.

证明：已知

E

1

可测,则取集合

TE

1

E

2

,有

m

E

1

E

2

m



E

1

E

2

E

1

m

E

1

E

2

E

1

C

m

E

m

E

12

E

1

C

再取

TE

2

,有

m

E

2

m

E

2

E

1

mE

2

E

1

C



结合上边两式便知

m

E

1

m

E

2

m

E

1

E

2

m

E

1

E

2



m

E

k

1

E

k

k1

0,1

20、设是中测度皆为一的可测集列,求证

k1

.

证明

1m

0,1

m

k1

k

m

E

m

E

m

E

m

E

k1

E

k

E

k

k1

c

c

k1

k

c

k1

k

k1

k

m

E

m

0,1

E

k1

kk

k1

k1

k

k1

k

E

k

0,1

k1

E

11

E

0,1

m

E

1

m

E

m

k

k1

k

k1



m

E

n

1

n1

n

mEn1mE



k1

k

0

k

E

k

nk1

0,1

22、设是中的可测集,满足

k1

,求证：

.

n

C

n



n

m

E

k



E

k

m

0,1

1

E

k

0,1

k1k1





证明：

k1

,

n

n



n

C

m

E

k

0m

E

k

1

k1



要证明

,只需证明

k1

n

C

m

E

k

m

E

k

C

m

0,1

E

k

m

0,1

m

E

k



k1

k1k1

k1

而

nnn

n

m

E

k

n

n1

1

k1

n

第三章习题

4、若对于任何

,

a,b

,

f

在

,

可测,求证:

f

在

a,b

上可测.

1ba

n

0

2

证明：

ab

，

n

0

1,使得

a,b

11



a,b

nn

0

nn



R

x

a,b

f

x

11

x

a,b

f

x

nn

0

nn





a,b

因此

f

在



上可测

fxr,fr



6、求证：为使



在

R

上可测,充要条件是对于任意的有理数

.

证明：必要性

因为

f

x

在

R

上可测,则对于

R,

f



,

因此,对于任意的有理数

r,

fr



充分性

对于

R

，存在单调递增的有理数列

r

n

n1

,

r

n

且

r

n

n

则

f

n1

f

r

n



因此

f

x

在

R

上可测

f

x



fGf



是可测集合

D

上的可测函数，则对于任何开集

G

和闭集

F

,和

F

是8、设

可测集合.

证明：

f

G

x:f

x

G

，

G

n1

a

n

,b

n

，

所以

f

G

x:f

x

a

n

,b

n

n1

n1

x:f

x

a,b

nn

由并集定义可知,

n

0

N,f

x

a

n

0

,b

n

0

而

x:a

n

0

f

x

b

n

0



f

G



C

f

F

f

G



10、设

可测集.

f

n

x

n1

是可测集合

D

上的可测函数列,求证：

D

中使得

f

n

x

收敛的点的全体是

证明：设

D

中使得

f

n

x

收敛的点的全体为集合

A

,

而

A

1



f

n

x

limf

n

x



lim

k1

n

n

k

11、设

f

x

在

R

上可微,求证：

f

x

可测.

证明：因为

f

x

在

R

上可微,所以

f

x

在

R

上连续,

R

,

因此

f

x

在

R

上为可测函数.

1



f

x

f

x

n

f

x

lim

n

1

n

所以 可测

D

D

k

D

k

k1

k1

14、设是一列两两不相交的可测集,,求证为使

f

在

D

上可测的充要条件

是对于每一个

k1,f

x

在

D

k

上可测.

必要性:

R,

xD

k

:f

D

k

xD:f

由题设知

D

k

为可测集,而

f

在

D

上可测,

所以

D

k

与

xD:f

均为可测集,故

xD

k

:f

为可测集,所以

f

在

D

k

上可测

充分性：

xD:f

xD

k

:f

k1

已知对于任意的

k1,

xD

k

:f

为可测集,由可测集满足可数并的性质

f

在集合

D

上

测

23、设在可测集

D

上

f

n

f

,

g

n

g

,求证：

(i)

f

n

g

n

fg

.

证明：已知

f

n

f,g

n

g,

可知对于

0



limm

f

n

f

0limm

g

n

g

0

nn

2

2



，





fgfg

ggff

nn



n



n

2



2



m

f

n

g

n

fg



m

g

n

g

m

f

n

f

2

2



0

n

(ii)

f

n

f

证明：因为

f

n

ff

n

f

所以

m

f

n

f

f

n

f

因此

f

n

f

m

f

n

f

0

n

(iv)当

m

D



时,

f

n

g

n

fg

f

n

f

n

g

n



证明：对于的任意子列

k

g

n

k

,因为

f

n

f

所以

f

n

k

f

,

因此存在子列





使得

f

f

n

k

f

n

k

,

i

n

k

i

f

a.e

又因为

g

n

g

，所以

g

n

k

g

i

g

g

g

因此存在子列，使得

n

k

ij

n

k

i

n

k

ij

g

a.e

a.e

g

n

k

g

a.e

ij

f

n

k

i

j

g

n

k

ij

fg

a.e

f

n

k

f

i

j

,

m

D



,所以

f

n

g

n

fg

27、设

f

n

x

n1

f

n

x

是

0,1

上的一列实值可测函数,若

1f

n

x

0,a.e

,求证：

f

n

x

0

f

n

x

证明：因为

f

n

x

1f

n

x

1f

n

x

0,a.e

,

m

0,1

1

f

n

x

,则

1f

n

x

0

1

1

101

1f

n

x

f

n

x

0f

n

x

0

反之不成立.

f

g

几乎处处有定义的定理3.2.2、设

f

,

g

为可测集合

D

上的可测函数,

是实数,当

时候,有

f,f,fg,fg,

f

g

都是可测集合

D

上的可测函数.

fg,

证明：对于

R

D,

0

0,

f

,

0

；

0,

f

f





0,

f

f









；

D,

0

f

f



f

,

0

fg

n1

f

r

n



g

r

n



因为

g

可测,则

g

可测,因此

fg

可测.

D,

0

f

f

2



f



fg

1

22

fg

fg

4

1



g0g



,

0



1



g0

g

,

0

g



1

g0

g



,

0



f

因此

g

也可测.

第四章习题

fL

D

,m

D

,

fdx0

D

1、设

f

非负且，求证

f

x

在

D

上几乎处处为零.

证明：

fo

1



f



n

n1

0

fdx

E

1

f

n

fdx

1

f

n

11

1

1

dxm

f

0

m

f

0

nn

n

n



1

1

0m

fo

m

f

m

f

0

n

n1

n

n1

m

fo

0

所以

f

x

在

D

上几乎处处为零

2、设

fL

E

,求证：

km

fk

0

.

证明：

fL

E

fL

E

fdx

E

fL

E

fL

E

fdx

E

C

fdx

E

fk

fdx

fk

kdxkm

fk

0m

fk

C

0

k

k

因为

fL

E

,则由积分的绝对连续性可知,对于

0,

0,

对于

AE,

fdx

mA

当



,有

A

因为

m

fk

0

k

,则由极限定义可知对于上述的

0

,存在正整数

N,

当

kN,

时,有

m

fk

因此对于

0,

存在正整数

N,

当

kN

时,有

3、设

m

D

,

f

n

x

n1

km

fk

fk

fdx

是可测集合

D

上的几乎处处有限的可测函数列,求证：为了使

dx0

n

1f

n

x

得

f

n

x

0

充要条件是

D

f

n

x

.

证明：必要性

f

n

x

因为

f

n

x

0

,所以

f

n

x

1f

n

x

1f

n

x

0

f

n

x

0

又因为

1,

1dx1m

D



D

,所以

1f

n

x

L

D

根据控制收敛定理可知：

f

n

x

1f

n

x

lim

f

n

x

1f

n

x

n

D

dx

0dx0

D

充分性：因为

f

n

x

D

dx0

n

f

n

x

,所以

1f

n

x

0

如果

1f

n

x

不依测度收敛于0

,则

0

0,

0

0,

n

j

n

,

对于任意的

j1

,

有

f

x

n

j



m

0

0



1f

n

j

x



而

f

n

j

x

1f

n

j

x

D

dx

0



1f

n

j

x



f

n

j

x

0

dx

0

0

与

f

n

x

1f

n

x

D

dx0

n

矛盾

f

n

x

0

1

f

n

x

1

因此

1f

n

x

1f

n

x

1f

101

,

n

x

f

n

x

0f

n

x

0

f

x

7、设

fL

R

,f

0

0,f

'

0

存在且有限,求证:

x

L

R

.

证明：设

f

'

0

A

,即

lim

f

x

f

0

x0

x0

lim

f

x

x0

x

A

,

由局部有界定理知,存在

0,

当

x

时,

f

x

x

A1

,

令

E

,

,则常数函数

A1L

E

,

f

x

x

L

E

f

x

从而

x

L

E

在

RE

上,

f

x

f

x

x

fL

R

f

x

L

RE

f

x

,从而

x

L

RE

f

x

因此

x

L

R

.

，


本文标签： 可测 证明 集合 函数 邻域

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