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2024年3月25日发(作者：foreach跳出)
Chapter 3 Arrow-Debreu Economy
3.1 Arrow-Debreu Securities Market
定义3.1 A state-
ω
contingent claim （an Arrow-Debreu Security） is the security
that pays 1 unit of consumption in state
ω
and nothing otherwise.
⎧
=1
ω
'=
ω
写成解析式的形式x(
ω
')=1
ω
(
ω
')=
⎨
=0
ω
'≠
ω
⎩
对于每一个状态，都可以定义相应的状态或有要求权（证券），共有
Ω
个状
态或有要求权也叫做Arrow-Debreu Securities。由所有可能的状态或有要求权—
完全集合－所构成的证券市场就叫做Arrow-Debreu Securities market。不同证券
的个数等于可能的状态数，即
N=Ω
。按照对应状态来排列状态或有要求权，则
其市场结构为一个单位矩阵：
⎛
1
⎜
⎜
⎜
#
⎜
⎜
⎜
=
⎜
0
⎜
⎜
⎜
#
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
0
"
%
"
%
0
#
1
#
"0
0
⎞
⎟
⎟
⎟
#
⎟
⎟
⎟
⎟
=
I
0
⎟
⎟
⎟
⎟
#
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
"1
⎠
"
%
"
%
X
A
−
D
3.2 State Price
记
φ
ω
为状态
ω
或有证券在0期的价格（以0期的消费品为单位），称为状态
ω
的状态价格。状态价格向量记为
φ
≡
[
φ
1
;";
φ
ω
;";
φ
Ω
]，且
φ
>>0
（
3.1
）
3.3 市场的完全性
Arrow-Debreu Securities
有一个重要的性质：可以用状态或有要求权的组合
3-1
为任意未来消费计划融资。记x
=[
c
11
;
"
;
c
1
ω
;
"
;
c
1Ω
]
为
1
期的任一消费计划。考虑
…，c
1
ω
单位的状态
ω
如下的状态或有要求权的组合：c
11
单位的状态
1
或有证券，
或有证券，…，c
1Ω
单位的状态
Ω
或有证券，即
θ
=[
c
11
;
"
;
c
1
ω
;
"
;
c
1Ω
]
。它的支付
就是
X
θ
=X
A−D
[c
11
;";c
1
ω
;";c
1Ω
]=[c
11
;";c
1
ω
;";c
1Ω
]=x
它的成本是：
φ
T
θ
=
∑
ω
φ
ω
c
1
ω
定义3.2
如果市场中的任一有限消费计划都可以通过有限成本的可交易证券的
组合来融资，那么我们就称这个证券市场是
complete
。
3.4 Optimization of Agents
考虑一个参与者，其禀赋为
e
，效用函数为
U
，则其禀赋的市场价值为：
w=e
0
+
φ
T
e
1
（
3.2
）
在
A
－
D
市场下，我们可以设想一个参与者把他的禀赋
e
兑换成总额为
w=e
0
+
φ
T
e
1
的现金；他可以用这些现金来购买现在的消费
c
0
和状态或有证券的
以得到未来消费
c
1
=e
1
+
θ
。他只要满足一个约束条件即预算约束的限制：组合
θ
，
现在和将来的消费的总成本不能超过其总财富：
c
0
+
φ
T
c
1
≤w=e
0
+
φ
T
e
1
（
3.3
）
ˆ
=[
φ
;
φ
]
，把
1
单位
0
期消费品的价格
φ
当作第一个定义扩展的价格向量
φ
00
元素，而
φ
0
=
1
。预算约束可改写为
ˆ
T
c≤
φ
ˆ
T
e⇔
φ
ˆ
T
(c−e)≤0
φ
+Ω
如果把消费集
C
选成
R
1
+
，
(2.6)
式中的优化问题就变成：
3-2
max U(c)
c∈C
ˆ
T
(
e
−
c
)
≥
0
（
3.4
）
s.t.
φ
c
≥
0
+Ω
定理3.1
令
C
＝
R
1
+
且
U
(⋅)
在
C
上连续。优化问题（
3.4
）有解。
证明略。
由不满足公理，有
∂
0
U
>0,∂
ω
U
>0,∀
ω
∈Ω
（
3.5
）
使用向量形式，可以写成：
⎡
∂
0
U
⎤
⎢
∂
U
⎥
DU
≡
⎢
1
⎥
和
DU>>
0
⎢
#
⎥
⎢⎥
U
∂
⎣
Ω
⎦
定理3.2
假定
DU>>0
，问题（
3.4
）的解满足如下条件：
∂
i
U
=
λφ
i
+
μ
i
,
i
=0,1,
"
,Ω
（
3.6a
）
ˆ
T
(
c
−
e
)
=
0
（
3.6b
）
φ
μ
i
c
i
=0,
i
=0,1,
"
,Ω
（
3.6c
）
例
3.3
构造拉格朗日函数（不考虑
c≥0
）：
ˆ
T
(
e
−
c
)
L
=
U
(
c
)
+
λφ
F.O.C
∂
i
L=∂
i
U−
λφ
i
=0
T
ˆ
∂L=
φ
(e−c)=0
λ
这里，
λ
>0
且
μ
i
≥0
，
i=0,1,",Ω
。
在参与者的优化问题中，如果达到最优时非负约束不起限制作用，则最优解
就叫做内部解；否则，就叫边角解。假设存在内部解，一阶条件可写为：
3-3
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