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2024年4月16日发(作者：important比较级和最高级形式)
Chapter 2. Summary of Vector analysis ( 2 )
2. Gradient, Divergence, and curl/rotation
2.1 Gradient of scalar function (标量函数的梯度)
标量场
F(x,y,z)
中，各点的大小可能不等，因此某点
F(x,y,z)
沿各个方向
的变化率可能不同。人们颇为关心的问题是：
F(x,y,z)
沿那一个方向的变化率最
大？以及这个最大变化率的表达式是甚麽？
为此，令
F(x,y,z)
为x, y, z 的实值可微函数。
F(x,y,z)
从P 到Q的微分变
化可以表示为
dF
F
F
F
dx
dy
dz
x
y
z
F = 常数
F + dF = 常数
Fig.1
P
F
dl
Q
F
F
F
(1)
a
x
a
y
a
z
a
x
dx
a
y
dy
a
z
dz
y
z
x
F
F
F
令等号右边第一个方括号为：
F
(2)
aaa
x
y
z
x
y
z
显然，等号右边第二个方括号为：
dla
x
y
ady
z
ad
z
(3)
x
d
d
l
(4)
则(1)式可写为
dFF
dF
F
a
l
(5)
或
dl
dl
式(5)中
a
l
是从P至Q在
dl
方向的单位矢量。
dl
式（4）或（5），给出了标量函数
F
的梯度定义：标量函数f在某点梯度
(Grad
F
, 通常以表示 ) 是一个矢量, 其大小
F
等于
F
在该点的的最大方向导
dF
数
dl
F
a
。
max
, 其方向是该点的最大方向导数的方向, 即
l
F
此外还可得到关于梯度的如下两个性质: (1) 梯度的方向垂直于给定标量函
数
F(x,y,z)
的等值面；(2) 函数
F(x,y,z)
在某点在任意方向的方向导数等于该函
数在该点的梯度与该方向单位矢量的标量积。
1
上述方程(1)给出函数F的梯度
F
在直角坐标系的表示式
F
F
F
F
(6)
aaa
x
y
z
x
y
z
在圆柱坐标系的表示式
1
F
F
F
F
a
a
a
z
(7)
z
在球坐标系的表示式
F
2.2 Divergence of a vector field and divergence theorem (矢量场的散度及散度定理)
(1) Flux of a vector field
F
1
F
F
1
F
a
r
a
a
(8)
rr
rsin
矢量场沿有向曲面（开曲面）
S
的面积分称为该矢量
F
通过该有向曲面的通
量，以
表示，即：
s
F
dS
(9)
由（9）可见，矢量
F
通过某一有向曲面的通量，既与该矢量的大小有关，又
与该矢量的方向有关。
如果有向曲面
S
是一闭曲面（通常规定其正方向为其外法线方向），则
F
dS
表示矢量
F
通过该闭曲面的通量。因此，若矢量穿出闭曲面，则
>
s
0，闭曲面内存在产生矢量场的正源；若矢量进入闭曲面，则
<0，闭曲面内存
在汇聚矢量场的负源，也叫洞（或汇）。在既无源又无洞的无源区，穿过任一闭
合面的通量必然为零。因为
出
=
入
。而且，通量的大小代表了源的强弱。
由电磁学可知，真空中的电场强度
E
通过任一闭合曲面的通量等于该闭合面
q
包围的自由电荷q与真空介电常数ε
0
之比，即
E
dS
。可见，当闭合
s
0
2
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