三角函数图像性质

三角函数的图象与性质

一、知识梳理

1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

π3π

正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，(，1)，(π，0)，(，－1)，

22

(2π，0)．

π3π

余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，(，0)，(π，－1)，(，0)，

22

(2π，1)．

2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质

函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x

图象

定义域

值域

单调性

最值

奇偶性

对称中心

对称轴方程

周期

3．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念

y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，

ω>0)，x∈[0，＋∞)

振幅

A

周期

2π

T＝

ω

频率

1

ω

f＝＝

T

2π

相位

ωx＋φ

初相

φ

第 1 页

4．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点．

如下表所示.

x

0－φ

ω

0

0

π

－φ

2

ω

π

2

A

π－φ

ω

π

0

3π

－φ

2

ω

3π

2

－A

2π－φ

ω

2π

0

ωx＋φ

y＝Asin(ωx＋φ)

5．函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤如下：

二、例题精讲

考点一 求三角函数的定义域和值域

1

例1 (1)函数y＝的定义域为____________．

tan x－1

πxπ



(2)函数y＝2sin





6

－

3



(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( )

A．2－3 B．0 C．－1 D．－1－3

π



变式训练1 (1) 已知函数y＝2cos x的定义域为



值域为[a，b]，则b－a的值是( )



3

，π



，

A．2 B．3 C.3＋2 D．2－3

(2) 函数y＝sin x－cos x的定义域是________．

(3) 函数y＝lg(sin 2x)＋9－x

2

的定义域为________．

ππ

2x－



在区间



0，



上的最小值为( ) (4) 函数f(x)＝sin



4



2



A．－1 B．－

22

C. D．0

22

第 2 页

π



(5) (2016·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝cos 2x＋6cos





2

－x



的最大值为( )

A．4 B．5 C．6

考点二 三角函数的单调性、周期性

例2 (1) 写出下列函数的单调区间及周期：

π

－2x＋



； ②y＝|tan x|. ①y＝sin



3



ππ

ωx＋



在



，π



上单调递减，则ω的取值范围是( ) (2) 已知ω＞0，函数f(x)＝sin



4



2



15



A.





2

，

4



1

0，



C.





2



π

π

2x－



中，最变式训练2 (1)函数：①y＝cos|2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos2x＋，④y＝tan



4



6

小正周期为π的所有函数为( )

A．②④

C．①②③

B．①③④

D．①③

13



B.





2

，

4



D．(0,2]

D．7

ππ

＋4x



＋cos



4x－



的周期、单调区间及最大、最小值． (2)求函数y＝sin



6



3



ππ

(3)已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)＋b对任意x有f(x＋)＝f(－x)成立，且f()＝1，则实数b的

48

值为( )

A．－1 B．3 C．－1或3 D．－3

π



π

，

π



上单调递减，

0，



上单调递增，(4)若函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间



在区间则ω＝ .



3



32



(5)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图，其中M(m,0)，N(n,2)，P(π，0)，且mn<0，

则f(x)在下列哪个区间中是单调的( )

第 3 页

π

A．(0，)

4

π3π

C．(，)

24

π2π

B．(，)

43

2π

D．(，π)

3

ππ



(6)设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间





6

，

2



上具有单调

π



2π



π



，则f(x)的最小正周期为________． 性，且f



＝f＝－f



2



3



6



考点三 三角函数的奇偶性和对称性

ππ

x＋



(x∈R)，函数y＝f(x＋φ)



|φ|≤



的图象关于直线x＝0对称，例3 (1)已知f(x)＝2sin



2



3



则φ的值为________．

4π



(2)如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点





3

，0



中心对称，那么|φ|的最小值为( )

ππππ

A. B. C. D.

6432

变式训练3

π

(1)若函数f(x)＝2sin(ax＋)(a>0)最小正周期为1，则它的一个对称中心为( )

4

π

11

A．(－，0) B．(0,0) C．(－，0) D．(，0)

888

π

(2)函数y＝sin 2x的图象向右平移φ个单位(φ>0)得到的图象恰好关于x＝对称，则φ的最

6

小值是________．

ππ

ωx＋



(ω∈N

*

)图象的一个对称中心是



，0



，则ω的最小值为( ) (3)若函数y＝cos



6



6



A．1 B．2 C．4 D．8

π

ω＞0，|φ|＜



的最小正周期为4π，且对任意x∈R，都有(4)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)



2



π



f(x)≤f





3



成立，则f(x)图象的一个对称中心的坐标是( )

2π

－，0



A.





3



2π



C.





3

，0



π

－，0



B.





3



5π



D.





3

，0



第 4 页

πππ

(5)设函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ∈(－，))的最小正周期为π，且其图象关于直线x＝对

2212

πππ

称，则在下面四个结论：①图象关于点(，0)对称；②图象关于点(，0)对称；③在[0，]

436

π

上是增函数；④在[－，0]上是增函数中，所有正确结论的编号为________．

6

考点四 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换

1

π



例4 已知函数f(x)＝3sin





2

x－

4



，x∈R.

(1)画出函数f(x)在一个周期的闭区间上的简图；

(2)将函数y＝sin x的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象？

π

1

2x＋



的图象向右平移个周期后，所得图变式训练4 (1)(2016·全国卷Ⅰ)将函数y＝2sin



6



4

象对应的函数为( )

π

2x＋



A．y＝2sin



4



π

2x－



C．y＝2sin



4



π

2x＋



B．y＝2sin



3



π

2x－



D．y＝2sin



3



π

x－



的图象可由函数y＝2sin x的图象至少向右平移(2)(2016·全国卷Ⅲ)函数y＝2sin





3



________个单位长度得到．

π

(3)为得到函数y＝cos(2x＋)的图象，只需将函数y＝sin 2x的图象

3

5π

A．向左平移个单位长度

12

5π

B．向右平移个单位长度

12

5π

C．向左平移个单位长度

6

5π

D．向右平移个单位长度

6

π

(4)设函数f(x)＝cos ωx (ω>0)，将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图

3

( )

第 5 页

象重合，则ω的最小值等于

1

A.

3

B．3

( )

C．6 D．9

考点五 求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式

4-2

所示，则

(

)

例

5

(1)(2016·

全国卷Ⅱ

)

函数

y

＝

Asin(ωx

＋

φ)

的部分图象如图

3-

图3-4-2

ππ

2x－



B．y＝2sin



2x－



A．y＝2sin



6



3



ππ

x＋



D．y＝2sin



x＋



C．y＝2sin





6



3



π

(2)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，

2

π

直线x＝是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( )

3

ππ

4x＋



B．y＝2sin



2x＋



＋2 A．y＝4sin



6



3



ππ

4x＋



＋2 D．y＝2sin



4x＋



＋2 C．y＝2sin



3



6



ππ

变式训练5 (1)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－<φ<)的部分图象如图所

22

示，则ω，φ的值分别是

π

A．2，－

3

π

C．4，－

6

( )

π

B．2，－

6

π

D．4，

3

π

(2)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(其中ω>0，|φ|<)的最小正周期是π，且f(0)＝3，则

2

( )

1

π

1

π

A．ω＝，φ＝ B．ω＝，φ＝

2623

ππ

C．ω＝2，φ＝ D．ω＝2，φ＝

63

π

(3)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，|φ|<，ω>0)的图象的一部分如图所示，则该函数的解

2

析式为____________．

第 6 页

11π



(4)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象如图3-4-3所示，则f





24



的值为( )

图3-4-3

A．－

632

B．－ C．－ D．－1

222

考点六 函数y＝Asin(ωx＋φ)图象与性质的应用

π

例6 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<，x∈R)的图象的一部分如下图所示．

2

(1)求函数f(x)的解析式；

2

(2)当x∈[－6，－]时，求函数y＝f(x)＋f(x＋2)的最大值与最小值及相应的x的值．

3

变式训练6 (1)已知函数y＝2sin(ωx＋θ)为偶函数(0<θ<π)，其图象与直线y＝2的某两个交

点的横坐标为x

1

、x

2

，若|x

2

－x

1

|的最小值为π，则

π

A．ω＝2，θ＝

2

1

π

C．ω＝，θ＝

24

( )

1

π

B．ω＝，θ＝

22

π

D．ω＝2，θ＝

4

(2)如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s cm和时间t s的函数

π

关系式为s＝6sin(2πt＋)，那么单摆来回摆动一次所需的时间为 ( )

6

A．2π s B．π s C．0.5 s D．1 s

(3)(2015·陕西高考)如图3-4-4，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝

π

x＋φ



＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为 ( ) 3sin





6



第 7 页

图3-4-4

A．5 B．6 C．8 D．10

三、课后练习

A组 专项基础训练

1．函数y＝cos x－

3

的定义域为( )

2

ππππ

－，



B.



kπ－，kπ＋



(k∈Z) A.



66



66



ππ

2kπ－，2kπ＋



(k∈Z) D．R C.



66



2．函数f(x)＝lg|sin x|是( )

A．最小正周期为π的奇函数

B．最小正周期为2π的奇函数

C．最小正周期为π的偶函数

D．最小正周期为2π的偶函数

3π



π

3．将函数f(x)＝sin ωx(其中ω>0)的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点





4

，0



，

4

则ω的最小值是( )

15

A. B．1 C. D．2

33

π

1

x＋



图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不4．(2017·成都二诊)将函数f(x)＝cos





6



2

变，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的解析式为( )

π

2x＋



A．g(x)＝cos



3



x

π



C．g(x)＝cos





2

＋

3



π

2x＋



B．g(x)＝cos



6



x

π



D．g(x)＝cos





2

＋

6



ππ

ω＞0，－

＜φ＜



的部分图象如图所示，5．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)



则ω，φ的值分别是( )

22



第 8 页

ππ

A．2，－ B．2，－

36

ππ

C．4，－ D．4，

63

π

6．已知函数f(x)＝－2sin(2x＋φ)(|φ|<π)，若f()＝－2，则f(x)的一个单调递减区间是( )

8

π3π

A．[－，]

88

3ππ

C．[－，]

88

π9π

B．[，]

88

π5π

D．[，]

88

π

π

ωx－



(ω＞0)的图象相邻两个对称中心之间的距离为，则f(x)的一个单7．若函数f(x)＝sin



6



2

调递增区间为( )

ππππ

－，



B.



－，



A.





63



36



π2π



π5π

，

D.



，



C.





63



36



π

8．(2016·全国卷Ⅱ)若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对

12

称轴为( )

kπ

π

A．x＝－(k∈Z)

26

kπ

π

C．x＝－(k∈Z)

212

kπ

π

B．x＝＋(k∈Z)

26

kπ

π

D．x＝＋(k∈Z)

212

π

9．函数y＝cos(－2x)的单调减区间为________．

4

ππ

10．设函数f(x)＝3sin(x＋)，若存在这样的实数x

1

，x

2

，对任意的x∈R，都有f(x

1

)≤f(x)≤f(x

2

)

24

成立，则|x

1

－x

2

|的最小值为________．

ππ

11.已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)，y＝f(x)的部分图象如图，则f()＝________.

224

π

12．设函数f(x)＝sin

(

2x＋φ

)

(－π<φ<0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝.

8

(1)求φ；

(2)求函数y＝f(x)的单调增区间．

第 9 页

13．如图为y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一段．

(1)求其解析式；

π

(2)若将y＝Asin(ωx＋φ)的图象向左平移个单位长度后得y＝f(x)，求f(x)的对称轴方程．

6

πxπ

14．设函数f(x)＝3sin(－).

43

(1)求f(x)的最小正周期．

4

(2)若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，求当x∈[0，]时，y＝g(x)的最大值．

3

B组 专项能力提升

ππ

2x－



图象上的点P



，t



向左平移s(s>0)个单位长度得到1．(2016·北京高考)将函数y＝sin



3



4



点P′.若P′位于函数y＝sin 2x的图象上，则( )

1

π

3

π

A．t＝，s的最小值为 B．t＝，s的最小值为

2626

1

π

3

π

C．t＝，s的最小值为 D．t＝，s的最小值为

2323

ππ2π

2．函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0且|φ|<)在区间[，]上单调递减，且函数值从1减小到－1，

263

第 10 页

那么此函数图象与y轴交点的纵坐标为( )

6＋2

123

A. B. C. D.

2224

π

n

3．已知函数f(x)＝2msin x－ncos x，直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴，则等于( )

3m

33233

A. B.3 C．－ D.

233

π

4．函数y＝tan(2x＋)的图象与x轴交点的坐标是_______________.

4

5．给出下列命题：

π5π

①函数f(x)＝4cos(2x＋)的一个对称中心为(－，0)；

312

2

②已知函数f(x)＝min{sin x，cos x}，则f(x)的值域为[－1，]；

2

③若α、β均为第一象限角，且α>β，则sin α>sin β.

其中所有真命题的序号是________．

π

A＞0，ω＞0，0＜φ＜



的部分图象如图3-6．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)



4-6所示．

2



图3-4-6

(1)求f(x)的解析式；



x－

π



2

，求函数g(x)在x∈



－

π

，

π



上的最大值，并确定此时x的值． (2)设g(x)＝



f



12



63



ππ

2x＋



＋2a＋b，当x∈



0，



时，－5≤f(x)≤1. 7．已知a>0，函数f(x)＝－2asin



6



2



(1)求常数a，b的值；

π

x＋



且lg g(x)>0，求g(x)的单调区间． (2)设g(x)＝f





2



第 11 页

第 12 页