admin 管理员组文章数量: 1086019
2024年4月16日发(作者：formation用英语怎么说)
取模运算：
取模运算（“Modulus Operation”）和取余运算（“Remainder Operation ”）
两个概念有重叠的部分但又不完全一致。主要的区别在于对负整数进行除法运算时操作不
同。取模主要是用于计算机术语中。取余则更多是数学概念。
模运算在数论和程序设计中都有着广泛的应用，奇偶数的判别到素数的判别，从模幂
运算到最大公约数的求法，从孙子问题到凯撒密码问题，无不充斥着模运算的身影。虽然
很多数论教材上对模运算都有一定的介绍，但多数都是以纯理论为主，对于模运算在程序
设计中的应用涉及不多。
取余运算区别：
对于整型数a，b来说，取模运算或者求余运算的方法都是：
1.求 整数商： c = [a/b];
2.计算模或者余数： r = a - c*b.
求模运算和求余运算在第一步不同: 取余运算在取c的值时，向0 方向舍入(fix()函数)；
而取模运算在计算c的值时，向负无穷方向舍入(floor()函数)。
例如计算：-7 Mod 4
那么：a = -7；b = 4；
第一步：求整数商c，如进行求模运算c = -2（向负无穷方向舍入），求余c = -1（向
0方向舍入）；
第二步：计算模和余数的公式相同，但因c的值不同，求模时r = 1，求余时r = -3。
归纳：当a和b符号一致时，求模运算和求余运算所得的c的值一致，因此结果一致。
当符号不一致时，结果不一样。求模运算结果的符号和b一致，求余运算结果的符号
和a一致。
另外各个环境下%运算符的含义不同，比如c/c++，java 为取余，而python则为取
模。
补充：
7 mod 4 = 3（商 = 1 或 2，1<2，取商=1）
-7 mod 4 = 1（商 = -1 或 -2，-2<-1，取商=-2）
7 mod -4 = -1（商 = -1或-2，-2<-1，取商=-2）
-7 mod -4 = -3（商 = 1或2，1<2，取商=1）
这里模是4，取模其实全称应该是取模数的余数，或取模余。
增加补充内容（以上五行）后，被修改商值，但是括号内容不变，出现奇怪矛盾。
在python下 % 运算符代表取模，如要修改，请先用python做
-7 % 4
运算，或其它语言做取模运算验证，理解后再动手。
概念：
定义
给定一个正整数p，任意一个整数n，一定存在等式 ：
n = kp + r ；
其中 k、r 是整数，且 0 ≤ r < p，则称 k 为 n 除以 p 的商，r 为 n 除以 p 的余
数。
对于正整数 p 和整数 a,b，定义如下运算：
取模运算：a % p（或a mod p），表示a除以p的余数。
模p加法： ，其结果是a+b算术和除以p的余数。
模p减法： ，其结果是a-b算术差除以p的余数。
模p乘法： ，其结果是 a * b算术乘法除以p的余数。
说明：
1. 同余式：正整数a，b对p取模，它们的余数相同，记做 或者a ≡ b (mod p)。
2. n % p 得到结果的正负由被除数n决定,与p无关。例如：7%4 = 3， -7%4 = -3，
7%-4 = 3， -7%-4 = -3。
基本性质
若p|(a-b)，则a≡b (% p)。例如 11 ≡ 4 (% 7)， 18 ≡ 4(% 7)
(a % p)=(b % p)意味a≡b (% p)
对称性：a≡b (% p)等价于b≡a (% p)
传递性：若a≡b (% p)且b≡c (% p) ，则a≡c (% p)
运算规则
模运算与基本四则运算有些相似，但是除法例外。其规则如下：
(a + b) % p = (a % p + b % p) % p （1）
(a - b) % p = (a % p - b % p ) % p （2）
(a * b) % p = (a % p * b % p) % p （3）
a ^ b % p = ((a % p)^b) % p （4）
结合律：((a+b) % p + c) % p = (a + (b+c) % p) % p （5）
((a*b) % p * c)% p = (a * (b*c) % p) % p （6）
交换律：(a + b) % p = (b+a) % p （7）
(a * b) % p = (b * a) % p （8）
分配律：(a+b) % p = ( a % p + b % p ) （9）((a +b)% p * c) % p = ((a * c) % p +
(b * c) % p) % p （10）
重要定理
若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有(a + c) ≡ (b + c) (%p)；（11）
若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有(a * c) ≡ (b * c) (%p)；（12）
若a≡b (% p)，c≡d (% p)，则 (a + c) ≡ (b + d) (%p)，(a - c) ≡ (b - d) (%p)，(a * c)
≡ (b * d) (%p)； （13）
版权声明：本文标题：取余运算规则 内容由网友自发贡献，该文观点仅代表作者本人， 转载请联系作者并注明出处：http://www.roclinux.cn/b/1713232240a625106.html， 本站仅提供信息存储空间服务，不拥有所有权，不承担相关法律责任。如发现本站有涉嫌抄袭侵权/违法违规的内容，一经查实，本站将立刻删除。
发表评论