位移载荷在有限元分析中的应用

创新前沿

TechnologyInnovationandApplication

科技创新与应用

2021年1期

位移载荷在有限元分析中的应用

吴敏

（西南交通大学，四川成都610000）

摘要：在对结构的受力情况进行有限元分析时

，

外加载荷加载可以分为力载荷和位移载荷两种形式

，

但是几乎没有关于

针对这种现象，

有限元位移加载原理的文献

。

文章首先详细推导了在力载荷和位移载荷下的有限元原理，然后利用MATLAB软

仿真结果表明，

件编写了两种外加载荷下的有限元程序

，

最后对两种加载方式下的有限元数值模拟结果进行对比

。

两种外加载

荷下所计算出来的结果基本一致

，

验证了运用位移载荷进行有限元分析的正确性

。

位移载荷；

关键词：有限元；力载荷

；

MATLAB

中图分类号院TU311.3文献标志码院A文章编号院2095-2945渊2021冤01-0014-05

forms:forceloadanddisplacementload,butthereisalmostnoliteratureabouttheprincipleoffiniteelementdisplacement

Abstract:Inthefiniteelementanalysisofthestressconditionofthestructure,theexternalloadcanbedividedintotwo

ofthisphenomenon,thefiniteelementprincipleunderforceloadanddisplacementloadisdeducedindetail,

andthenthefiniteelementprogry,the

usingdisplacementload.

finiteeulationresultsshowthatthecalcu鄄

latedresultsundertwokindsofappliedloadsarebasicallythesame,whichverifiesthecorrectnessoffiniteelementanalysis

Keywords:finiteelement;forceload;displacementload;MATLAB

1概述

进行数值仿真时

，

以节点位移为基本未知量

，

首先用节点

位移来表示离散体单元内部的应力和应变状态，然后通

过虚功原理构造单元刚度矩阵

，

接着将单元刚度矩阵组

装成为总体刚度矩阵

，

并施加边界条件求出每个节点上

的位移值

，

最后将节点上的位移值带入到每个单元中，求

解出每个单元的应力和应变状态。

目前关于有限元的文献中，外加载荷的形式普遍采

用的是力载荷

，几

乎没有关于外载荷形式为位移载荷的

外加载荷为位移载荷的形式下有限元原理，并且使用

的有限元程序。对比两种外载荷形式下的数值仿真结果

有限元分析是求解复杂微分方程的一种非常有效的

数值方法

[1]

，在科学研究和工程分析中广泛运用。

它结合

计算机技术

，

具有计算速度快、计算精度高的特点

，

广泛

电磁学领域以及学科交叉领

运用于力学领域、热学领域、

域中。有限元思想起源于1943年Courant

[2]

解决

扭转问题的工作中，Clough

[3]

在1960年首次提出“有限单

元法

”

的名称。有限元的核心是将一个连续的物体通过离

每个单元通过节点的形式连接

。通过离散化的方式将具

从而得到相关的数值解。运用有限元对结构的受力情况

针对这种现象

，

本文分别推导了散化的形式来表示

，

将连续体离散为若干个单元的组合

，

有限元分析原理的文献

，

有无限自由度的物体用有限自由度的离散体近似表示，

MATLAB软件分别编写出了外载荷为力载荷和位移载荷

图1结构的有限元受力分析步骤

（

1993-）

有限元力学仿真。

作者简介院吴敏，男，硕士研究生，研究方向

：

-14-

2021年1期

TechnologyInnovationandApplication

科技创新与应用

创新前沿

发现：外载荷为位移载荷计算出的仿真结果与外载荷为

力载荷计算出的仿真结果基本一致

。由此可以拓展有限

元的分析思路：当外加力载荷不容易确定时，通过测量位

移载荷的大小来对结构进行有限元分析

，

同样可以得到

结构的有

2

限元

在

有限元分析步骤

受力结果

。

对结构的受力情况进行有限元分析时，以节点位

移为基本未知量

，主要

分析步骤采用的是

“

总-分-总-

分”的形式

[4]

，即首先将结构离散化为若干个单元

，

然后再

求出单元刚度矩阵

，

接着将若干个单元刚度矩阵组装为

一个整体刚度矩阵，并且施加边界约束和外加载荷，求出

节点位移

，

最后将求出的节点位移带入到每一个单元中，

求解出每一个单元的应变和应力情况

。有限元受力分析

的流程图如图1所示。在本文中，以一个二维平面的连续

体为例

，

来推导有限元的分析步骤

[5]

。其中，单元类型采用

的是的目前广泛使用的三节点三角形单元

，

如图2所示

。

图2三节点三角形单元

2.1

将一

结

个

构

二

离散

维的

化

连续体离散为具有若干个三节点三角

形单元

，

通过离散化处理，将具有无限自由度的连续体近

似等效为有限自由度的离散体

。图

3（a）和（b）分别表示

一个二维的连续体和三节点三角形单元表示的离散体

。

（a）连续体（b）离散体

图3二维平面的连续体和离散体对应的结构示意图

2.2

将结

单

构经过

元分析

离散化处理后

，

结构由若干个离散的单

元表示。在单元分析的过程中，将用单元的节点位移分别

表示单元内部位移、单元应变和单元应力

，

并且求出单元

刚度矩阵

。

在

2.2.1

每一

单

个

元

单

内

元

部

中，

位

引

移

入形函数，则单元内部任意一点

的位移可以通过单元上的节点位移来表示

。

a=Nu

e

（1）

[uv]

式

（

1）中，u

e

T

表示单元内部

=[u

i

任意

v

i

u

j

一

v

j

u

k

点

v

k

的位

]

T

表示单元的节点位移

，

a=

移，N表示形函数矩阵，

表达形式

蓘

0

为

：

N=

式（2

N

N

）中，

0

i

0

N

N

j

N

i

、N

0

j

0

j

、

N

k

N

0

k

i

N

k

是与

蓡

（2）

节点坐标和位移待求点坐标

有关的函数

，

称为形函数。在

这里，

形函数采用一次多项

式的形式

，

表达形式为

：

扇

设

设

设

设

设

设

设

N

i

=

1

（a

i

+b

i

x+c

i

y）

缮

设

设

设

设

设

设

N

2阅

j

=

设

设

2

1

阅

（a

j

+b

j

x+c

j

y）

（3）

设

墒

设

设

N

k

=

1

（

式（3）

2

中，

阅

a

k

+b

k

x+c

k

y）

D代表三角形单元的面积

，

x、y表示单元任

意一点

a

的坐标，其他系数的表示形式为

：

扇

设

设

设

i

缮

设

设

=x

j

y

k

-x

k

y

j

设

设

（i，j，k）（4）

设

设

式

c

i

设

b

i

=y

（

=x

j

墒

k

-y

4）

-x

k

j

中，“（i，j，k）”的意思是依次将下标做轮换：i寅

j

来

，j寅

表示

k，

。

k寅i。这样

，

所有的待定参数都可以通过节点位置

2.2.2

在确定

单

了

元

单

应

元

变

内任意一点的位移之后

，

通过几何方

程即可确定单元内的应变：

杉

山

山

煽

衫

衫

杉

山

煽

衫

山

坠u

衫

衫

衫

缀=

山

山

山

山

山

缀

缀

x

衫

衫

山

坠x

衫

山

山衫

山

y

衫

衫

山衫

山

山衫

山

酌

衫

衫

山

坠v

衫

山

山衫

（5）

山

xy

衫

衫

衫

=

山

删闪

山

山

山

坠v

坠y

衫

衫

山

衫

=Bu

e

山

山

删

式（5）中，缀为单

坠x

+

坠u

元应

坠y

衫

衫

衫

衫

闪

变矩阵

，

B为形函数导数矩

。在

三节点三角形单元中，B的表示形式为：

杉

山

B=

山

山

山

山

b

i

0b

j

0b

k

0

煽

衫

衫

衫

山

衫

山

衫

山

山

山

0

c

c

i

0c

j

0c

k

衫

衫

2.2.3

删

i

单

b

i

元

c

j

应

b

力

j

c

k

b

k

衫

（6）

衫

衫

闪

求出单元应变以后

，

利用物理方程可以求出单元内

的应力

滓=D

分

缀

布

：

=DBu

e

（7）

在二维平面情况下

，

结构可以分为平面应力问题和

-15-

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2021年1期

平面应变问题。

1

对

滋

于平

0

面应力问题

，

D可以表示为

：

杉

山

山

煽

衫

衫

D=

E

山

山

山

衫

山

衫

1-滋

2

山

衫

山

衫

山

滋

00

1

1-

0

衫

山

衫

山

衫

（8）

山

衫

删

2

滋

衫

衫

闪

对于平面应

杉

山

山

D=

山

山

1

变问题，D可以表示为：

煽

衫

1-

E

滋

2

山

山

山

山

山

滋

滋

1

0

0

衫

衫

衫

衫

衫

山

山

山

删

00

1-

衫

衫

2

滋

衫

（9）

衫

衫

衫

闪

在

2.2.4

式（8）

求出

求

和

应

解

式

（

变

单

9）

和

元刚

中，

应力

度

E为

的表

矩阵

弹性模量

，

滋为剪切模量

。

达方式以后

，

通过虚位移原

理可以得到单元刚度矩阵和单元节点力列阵

。虚位移原

理可以表示为

：

（10）

式（10）中，f和F分别表示体积力和面积力

。在离散

化结构中，单元内的虚位移原理可以表示为

：

（11）

K

经过化简后

，

可以得到单元内部的有限元方程

：

e

u

e

=P

e

（12）

式（12）中，代表单元的刚度矩阵

，

2.3整体分析

代表单元的节点力列阵

。

在整体分析的过程中，首先将单元刚度矩阵组装成

整体刚度矩阵

，

然后施加边界条件和外加载荷

，

最后计算

求解出

2.3.1

节点位移

。

在求出

求

单

解

元刚

整体

度

刚

矩阵

度矩阵

和单元节点力列阵后，将若干

个单元的单元刚度矩阵和节点力列阵进行组装

，

即

：

移

e

K

e

u

e

=

移

e

P

e

（13）

式（13）就是结构受力分析的有限元方程

，

将其简化

书写为

Ku=P

：

式（14）中，K为整体刚度矩阵

，

u为整体位移列

（

阵

14

，

）

P

为整体节点力列阵。将有限元方程展开为矩阵形式，可以

写为

：

杉

山

山

山

山

山

k

11

k

12

…k

1n

煽

衫

衫

杉

衫

山

山

u

1

煽

衫

衫

杉

山

山

P

1

煽

衫

衫

衫

山

衫

山

山

山

k

21

k

22

…k

2n

衫

山

衫

山

衫

山

衫

山

u

2

衫

衫

山

衫

山

衫

山

山

山

P

2

衫

衫

衫

衫

山

衫

山

衫

山

衫

山

山

山

山衫

山

讷讷埙讷讷

衫

衫

=

山

山

讷

衫

衫

（15）

删删

-16-

k

n1

k

n2

…k

nn

衫

衫

衫

山

闪

山

山

u

n

衫

衫

山

衫

山

闪

山

衫

山

衫

删

P

n

衫

衫

闪

边

2.3.2

界条

施

件

加边

通常

界

是

条

限

件

制

和外

结构

载

在

荷

某些位置上的位移

，

表

达形式为

：

u

1

外

=u

1

（16）

载荷的加载形式有位移加载和力加载两种形式

。

两种施加方式的求解过程有所不同

，

下面分别推导外载

荷形式为力载荷和位移载荷下的有限元方程的求解过

程。

（1）外载荷形式为力加载的有限元求解过程

当外载荷形式为力载荷时，力载荷的加载形式可以

表示为

：

P

2

=P

2

（17）

将边界条件和力载荷加入到整体分析的有限元方程

中并用

K

矩阵形式表示，可以得到：

杉

山

山

山

山

山

11

杉

山

山

山

山

山

山

K

K

12

衫

杉

衫

山

山

煽

山

衫

山

22

K

K

13

煽

衫

23

衫

衫

衫

山

衫

衫

山

u

1

衫

衫

山

衫

山

衫

衫

山衫

删

衫

山衫

山

0

煽

衫

衫

衫

衫

衫

山衫

山衫

闪

山

山

删

衫

山衫

衫

山衫

（18）

闪

山

山

删

衫

衫

闪

式

K

K

21

31

（18

K

32

）中，

K

33

u

1

和

u

u

2

3

=P

P

2

是

0

2

已知的参数

，

u

2

和u

3

为待求的

节点位

蓘

移值

。此时，

可以将有限元方程简化为

：

由

K

K

22

32

式

（

K

K

23

33

19）

蓡

即

蓘

u

u

2

3

可

蓡

=

求

蓘

P

得

0

2

待

蓡

-

求

蓘

K

K

21

31

的节

蓡

[u

1

]（19）

点位移u

2

和u

3

。

（2）外载荷形式为位移载荷的有限元求解过程

当外载荷形式为位移载荷时

，位

移载荷的加载形式

可以表

u

示为

：

2

=u

2

（20）

将边界条件和位移载荷加入到整体分析的有限元方

程中并

杉

山

山

煽

山

衫

杉

山

山

山

山

K

用矩阵

K

形式表示

，

可以得到

：

12

K

13

煽

衫

衫

杉

衫

山

山

山

衫

山

山

0

煽

衫

衫

衫

衫

山

衫

山

u

1

山

衫

山

山

衫

山

衫

山

山

K

11

21

K

22

K

23

衫

山

衫

山衫

删

衫

山

衫

山

闪

山

山

删

u

3

衫

山

衫

衫

衫

山衫

（21）

闪

山

山

删

衫

衫

闪

式

K

31

（21

K

32

）中，

K

33

u

衫

衫

2

衫

衫

衫

=P

u

1

和u

2

是

0

2

已知的参数

，

u

3

和P

2

分别为待

求的节点位移值和节点载荷值。此时，可以将有限元方程

简化为

：

[K

33

由式

][u

3

（

22

]=[0]-[K

31

）即可求

][u

1

得

]-[K

32

待求

][u

2

的节

]

点位移u

3

，然后将

（

求

22

出

）

的节点位移值带入到式（21）中即可求得力载荷P

2

。

2.4

在求

离散

出离散

体的

体

受

的

力

节

分

点

析

位移以后

，

首先通过式

（

5）求解

出每个单元的应变分布

，

然后通过式

（

7）求解出每个单元

的应力分布。

3

在

数值仿真实例

数值算例中，我们运用MATLAB软件编写出力载

荷和位移载荷下的有限元程序

，

在MATLAB软件中完成

2021年1期

TechnologyInnovationandApplication

科技创新与应用

创新前沿

了力载荷和位移载荷下的有限元仿真，并且得到相关的

数值结果

。

3.1外载荷形式为力加载的数值实例

（5）求解未知的节点位移

u=[0.0069-0.0329-0.0058-0.03150.0057-0.018-

（

18）

（

19）运用式和式，求出节点位移列阵为

：

3m，宽为1m，弹性模量为E=1伊10

7

Pa，泊松比滋=0.3，在矩

用三节点三角形单元，并采用平面应力假设，求解矩形板

每个节点上的位移

。

形板右上方的顶点处施加的力载荷大小为F=1伊10

5

N。使

如图4所示为二维平面的矩形板

。矩形板的长为

0.0052-0.01740.0035-0.0064-0.0034-0.00590000]

T

；

（6）求解单元内的应力状态

将节点位移带入到每一个单元内

，

可求出力载荷情

况下单元1~6中的应力状态，具体数值如表1所示。

如图5所示为一个二维平面的方形板

。矩形板的长为

3.2外载荷形式为位移加载的数值实例

3m，宽为1m，弹性模量为E=1伊10

7

Pa，泊松比滋=0.3，在矩形

板右上方的顶点处施加的位移载荷大小为u=-0.0329m。使

用三节点三角形单元

，

并采用平面应力假设

，

求解矩形板

每个节点上的位移和每个单元的应力值

。

（a）受力载荷的矩形板

（a）受位移载荷的矩形板

（b）有限元几何模型

图4力载荷作用下的矩形板及其有限元几何模型

受力载荷作用下的有限元分析步骤如下所示：

（1）将矩形板进行离散化处理

；

（

12）（2）使用式求解出每一个单元的单元刚度矩阵

；

（

13）（3）使用式组装整体刚度矩阵

；

（4）处理边界条件和力载荷

u

7

=v

7

=u

8

=v

8

=0；

矩形板的边界条件为

：

（b）有限元几何模型

图5位移载荷作用下的矩形板及其有限元几何模型

受位移载荷作用下的有限元分析步骤如下所示

：

（1）将矩形板进行离散化处理

；

（2）使用式（12）求解出每一个单元的单元刚度矩阵；

（

13）（3）使用式组装整体刚度矩阵

；

（

Pa）表1力载荷下各单元的应力值

P

y1

=-1伊10

4

N；

外加的节点力载荷为

：

-17-

创新前沿

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科技创新与应用

2021年1期

（

Pa）表2位移载荷下各单元的应力值

（4）处理边界条件和位移载荷

矩形板的边界条件为

：

外加的节点位移载荷为

：

u

7

=v

7

=u

8

=v

8

=0；

4结论

本文分析了外加载荷分别为力载荷和位移载荷情况

下的有限元原理，并且使用MATLAB软件编写了两种外

加载荷在二维平面应力问题下的有限元程序

，

验证了运

用力载荷和位移载荷对结构进行有限元分析时仿真结果

当结构的外

的一致性。为结构的有限元分析扩展了思路

。

加力载荷不容易得到时，通过测量位移载荷的大小也可

以对结构进行有限元分析

。

参考文献院

itiontogenerality[J].AppliedMechanicsReviews，1970，23

（5）求解未知的节点位移和外加力载荷

使用式（21）和式（22）求解未知的位移，求出的节点

位移列阵为

：

u=[0.0069-0.0329-0.0058-0.03150.0057-0.018-0.0052

v

1

=-0.0329m；

-0.01740.0035-0.0064-0.0034-0.00590000]

T

；

其值为

：

P

y1

=-0.993伊10

3

N；

使用式（21），求得施加位移载荷时等效的外加载荷，

[1]iteelementmethod：Fromintu原

（3）：249-256.

[2]ionalmethodsforthesolutionofproblems

ofequilibriumandvibrations[J].BulletinoftheAmerican

MathematicalSociety，1943，49（1）：1-23.

analysis[C].Proceedingsof2ndASCEConferenceonElec原

tronicComputation，PittsburghPa.，Sept.8and9，1960.

[5]王勖成.有限单元法[M].北京：清华大学出版社

，

2002.

[4]曾攀.有限元分析及应用[M].北京：清华大学出版社

，

2004.

（6）求解各单元的应力情况

将节点位移带入到每一个单元内，可求出位移载荷

情况下单元1~6中的应力状态，具体数值如表2所示

。

使用力载荷加载计算出的位移结果和使用位移载荷

计算出的位移结果几乎一致，两种外加载荷计算出来的

应力结果也大致相同。说明使用两种不同的外加载荷进

行有限元分析得到的数值结果是一致的，验证了运用位

移载荷进行有限元分析的正确性。

3.3两种外加载荷的仿真结果比较

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